電場與庫倫定律
我們知道電荷的存在會在空間中建立起一個電場，最簡單的電荷源就是電點荷。描述單一一個電荷所建立的電場的基本定律就是庫倫定律。一般我們所看到最簡單的庫倫定律的形式如下： \[\vec{E}=\frac{kq}{r^2}\hat{r}=\frac{kq}{r^3}\vec{r} \] 請注意在上面這個公式中我們用了一個非常重要的向量關係，那就是位置向量(\(\vec{r}\))的單位向量(\(\hat{r}\))等於位置向量處理位置向量的長度(\(|\vec{r})\))，而且還要注意到上面這個公式，以坐標系統的原點就在點電荷的位置，來描述空間中場的位置向量，如果我們在空間中有許多的電荷，那麼這個公式就不適合來描述這樣的情況。所以比較好的庫倫定律的寫法應該是下面的公式。
座標的原點不在點電荷q上面，所以點電荷q有自己的位置向量(\(\vec{r}'\))，欲計算的電場位置有向量是以\(\vec{r}\)來描述，電場本身也是一個向量(\(\vec{E}\))，其方向及大小與空間中的位置有關，位置\(\vec{r}\)的電場向量是\(\vec{r}\)的函數，當然也是x,y,z的函數： \[\vec{E}(\vec{r})=\frac{kq}{|\vec{r}-\vec{r}'|^3}(\vec{r}-\vec{r}') \] 如果我們有很多的電荷那麼就把這個公式推廣一下，就得到多個點電荷在空間在空間中所建立的電場： \[\vec{E}(\vec{r})=\sum_i \frac{kq}{|\vec{r}-\vec{r_i}'|^3}(\vec{r}-\vec{r_i}') \] 在我們下面的程式中就是反覆的應用這個電場公式來計算單一一個點電荷，或是有多個電荷分佈成不同的幾何形狀時，在空間中分別建立起不同的電場。在普通物理中我們已經學過，單一點電荷所建立的電場大小，隨著與電荷距離的變化是平方反比定律；但是如果把電荷均勻地排成一條無窮長的直線時，電場的大小與距離成1次方反比定律；如果把電荷平均地分佈在一個平面上，這個平面將會造就出一個常數的電場，電場大小與距離完全無關。如果我們有一個正電荷和一個負電荷分隔一段距離形成一個所謂的電偶極，那麼在遠離這個電偶極的地方去測量電場的話，會發現電場的大小隨著遠離電偶極的距離是3次方反比定律。我們希望能夠藉由下面的數值計算來驗證這些重要結果。
- \(\rm{point \, charge:\,\,}E \propto 1/r^2\)
- \(\rm{line \, of \, charges:\,\,}E \propto 1/r;\,\, E=\frac{2k\lambda}{r}\)
- \(\rm{point \, plane \, of \, charges:\,\,}E \simeq \, constant \,\, E=\frac{\sigma}{2 \epsilon_0}\)
- \(\rm{2 point \, charges(dipole):\,\,}E \propto 1/r^3\)
- 1. 點電荷所建立的電場
- 2. 點電荷所建立的電場(VPYTHON)
- 設計一個函數來計算一個在坐標向量rq位置的點電荷點點荷q
- 在坐標向量r位置貢獻的電場向量E,電場大小Es.
- mag(A)=向量A的長度;為了計算方便我們將庫倫常數ke設定為1.
- 點電荷的電量大小q,點電荷的位置座標向量rq
- 請同學們先自行檢驗下面三個座標點的電場大小確實和你用手算出來的結果相等
- 因為我們要反覆運用庫倫定律,因此要先確定計算機程式的寫法與實際運算是符合的
- 用黃色的球代表點電荷,用白色的球代表三個座標點的位置
- 用3個粉紅色的向量代表3個座標點的位置的電場向量
- 3. 點電荷所建立的電場(VPYTHON)與電通量 在這個問題當中我們要計算一個點電荷在一個平面中所建立的電場， 並且將電場用箭頭來表示電場向量，然後我們希望能夠轉動照相機的位置， 和觀察物件的角度。庫倫常數\(k=\dfrac{1}{4 \pi \epsilon_0}=1\), \(q=10\), \(\vec{r}_q=(0,0,0)\), 平面的中心點(0,0,0)，平面的邊長\(L=4\),正方形分割為16個小正方形。
GlowScript 3.2 VPython
# 在vpython當中有一個物件叫做向量(vector,簡寫為vec)很好用,
# 並且也有許多相關的函數(mag,mag2,hat,dot,cross)可以使用,
# 在這一個基本的電場計算中我們將使用這個物件和函數.
# rq1=vec(1,0,2)有三個分量分別代表向量rq在x,y,z軸的分量rq1.x=1,rq1.y=0,rq1.z=2
q1=1.; rq1=vec(1.,0.,0.); # 點電荷的大小q1和點電荷所放置的位置向量rq1
ke=1. # 庫倫常數ke設定為1,在SI單位下k=9E9
# 我們沿著y=1,z=0與x軸平行的直線來計算點電荷在線上各點所產生的電場向量和其大小
for x in range(10):
r=vec(x,1,0) # 向量r在x,y,z軸的分量, y=1,z=0,x=0,1,2,3, ..., 9
rrq=r-rq1 # rrq=點電荷的座標點rq指向場點r的向量
rrq0=mag(rrq) # 向量rrq的大小
Es=ke*q1/mag2(rrq) # 電場的大小由庫侖定律決定,平方反比關係.mag2(rrq)=向量rrq長度的平方
E=Es*hat(rrq) # E=電場向量,hat(rrq)=取向量rrq的單位向量
print(x,r,rrq0,mag2(rrq),Es,E)
移除註解之後的程式面貌：
GlowScript 3.2 VPython
rq1.x=1,rq1.y=0,rq1.z=2
q1=1.; rq1=vec(1.,0.,0.);
ke=1.
for x in range(10):
r=vec(x,1,0)
rrq=r-rq1
rrq0=mag(rrq)
Es=ke*q1/mag2(rrq)
E=Es*hat(rrq)
print(x,r,rrq0,mag2(rrq),Es,E)
輸出的數據：
0 < 0, 1, 0 > 1.41421 2 0.5 < -0.353553, 0.353553, 0 > 1 < 1, 1, 0 > 1 1 1 < 0, 1, 0 > 2 < 2, 1, 0 > 1.41421 2 0.5 < 0.353553, 0.353553, 0 > 3 < 3, 1, 0 > 2.23607 5 0.2 < 0.178885, 0.0894427, 0 > 4 < 4, 1, 0 > 3.16228 10 0.1 < 0.0948683, 0.0316228, 0 > 5 < 5, 1, 0 > 4.12311 17 0.0588235 < 0.0570672, 0.0142668, 0 > 6 < 6, 1, 0 > 5.09902 26 0.0384615 < 0.0377146, 7.54293e-3, 0 > 7 < 7, 1, 0 > 6.08276 37 0.027027 < 0.0266593, 4.44322e-3, 0 > 8 < 8, 1, 0 > 7.07107 50 0.02 < 0.019799, 2.82843e-3, 0 > 9 < 9, 1, 0 > 8.06226 65 0.0153846 < 0.0152658, 1.90823e-3, 0 > run this code(PS-EF-01.py) in glowscript
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GlowScript 3.0 VPython
# 設計一個函數來計算一個在坐標向量rq位置的點電荷點點荷(q),
# 在坐標向量r位置貢獻的電場向量E,電場大小Es.
# mag(A)=向量A的長度;為了計算方便我們將庫倫常數ke設定為1.
def EF_point(q,rq,r):
ke=1.
rrq=r-rq
rrq0=mag(rrq)
Es=ke*q/rrq0**2
E=ke*q*rrq/rrq0**3 #庫倫定律的基本公式
return E,Es
q=1.; rq=vec(0.,0.,0.) #點電荷的電量大小q,點電荷的位置座標向量rq
# 請同學們先自行檢驗下面三個座標點的電場大小確實和你用手算出來的結果相等
# 因為我們要反覆運用庫倫定律,因此要先確定計算機程式的寫法與實際運算是符合的
r1=vec(1,0,0)
E1,E1s=EF_point(q,rq,r1)
print(r1,'E1=',E1,' E1s=',E1s)
r2=vec(1,0,1)
E2,E2s=EF_point(q,rq,r2)
print(r2,E2,E2s)
r3=vec(1,1,1)
E3,E3s=EF_point(q,rq,r3)
print(r3,E3,E3s)
scene=canvas(width=800, height=400, center=vector(1,1,0))
box(pos=vec(1,0,1),size=vec(2,0.01,3),color=vec(0,1,1),opacity=0.2)
X=arrow(pos=vec(0,0,0),axis=vec(2,0,0),shaftwidth=0.02,headwidth=0.04,color=vec(1,1,1))
Y=arrow(pos=vec(0,0,0),axis=vec(0,2,0),shaftwidth=0.02,headwidth=0.04,color=vec(1,1,1))
Z=arrow(pos=vec(0,0,0),axis=vec(0,0,2),shaftwidth=0.02,headwidth=0.04,color=vec(1,1,1))
Q1=sphere(pos=rq,radius=0.3,color=vec(1,1,0)) # 用黃色的球代表點電荷
F1=sphere(pos=r1,radius=0.1,color=vec(1,1,1)) # 用白色的球代表三個座標點的位置
F2=sphere(pos=r2,radius=0.1,color=vec(1,1,1))
F3=sphere(pos=r3,radius=0.1,color=vec(1,1,1))
# 用3個粉紅色的向量代表3個座標點的位置的電場向量
A1=arrow(pos=r1,axis=E1,shaftwidth=0.02,headwidth=0.04,color=vec(1,0,1))
A2=arrow(pos=r2,axis=E2,shaftwidth=0.02,headwidth=0.04,color=vec(1,0,1))
A3=arrow(pos=r3,axis=E3,shaftwidth=0.02,headwidth=0.04,color=vec(1,0,1))
#T=text(text='設計一個函數來計算一個在坐標向量rq位置的點電荷點點荷q,')
st="""設計一個函數來計算一個在坐標向量rq位置的點電荷點點荷q
在坐標向量r位置貢獻的電場向量E,電場大小Es.
mag(A)=向量A的長度;為了計算方便我們將庫倫常數ke設定為1.
點電荷的電量大小q,點電荷的位置座標向量rq
請同學們先自行檢驗下面三個座標點的電場大小確實和你用手算出來的結果相等
因為我們要反覆運用庫倫定律,因此要先確定計算機程式的寫法與實際運算是符合的
用黃色的球代表點電荷,用白色的球代表三個座標點的位置
用3個粉紅色的向量代表3個座標點的位置的電場向量"""
print(st)
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run this code(EL-01) in glowscript
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電通量的定義： \[\Phi=\int \vec{E} \cdot d\vec{S} \] 用電通量我們可以驗證高斯定律： \[\oint \vec{E} \cdot d\vec{S} = \dfrac{q_{enc}}{\epsilon_0} \] Halliday普通物理相關習題
Flux of a point charge below a square(youtube)