太陽系的行星運動

1. 行星繞日的軌道是橢圓形
2. 等面積定律:行星至太陽間的連心線在相同的時間內掃過相同的面積
3. 行星繞日的週期(T)與其橢圓軌道之半長軸(R)關係為: \(T^2 \propto a^3\)

	半長軸a	近日點	遠日點	公週期	半徑	質量	自週期	衛星	軌傾角	離心率	脫離速	密度	3rdlaw
	AU	AU	AU	year	RE	ME	24hr		degree		km/s	g/cm3	T2/a3
太陽	---	---	---	---	109	332,800	25-36	9	---	---	617	1.41	
水星	0.387	0.307	0.467	0.241	0.3824	0.055	58.65	0	7	0.206	4.3	5.43	1.002 
金星	0.723	0.719	0.728	0.615	0.95	0.815	-243	0	3.39	0.007	10.4	5.25	1.000 
地球	1	0.983	1.017	1	1	1	1	1	0	0.017	11.2	5.52	1.000 
火星	1.523	1.381	1.666	1.88	0.53	0.107	1.026	2	1.85	0.093	5	3.94	1.000 
木星	5.204	4.95	5.459	11.86	11.2	317.9	0.408	79	1.3	0.048	59.5	1.31	0.998 
土星	9.582	9.041	10.12	29.46	9.46	95.2	0.425	82	2.49	0.056	35.6	0.69	0.986 
天王星	19.20	18.32	20.08	84.01	4	14.52	-0.746	27	0.77	0.047	21.3	1.29	0.997 
海王星	30.04	29.71	30.39	164.8	3.88	17.06	0.796	14	1.77	0.009	23.3	1.64	1.001 
冥王星	39.48	29.65	49.30	247.7	0.18	0.0022	-6.37	5	17.15	0.248	1.1	2.03	0.997 
哈雷	17.83	0.586	35.08	75.32	5.5km	2E14kg	2.2	0	162	0.967	2 m/s	0.6

1. 行星運動方程式與重力定律

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行星運動的動力是牛頓的重力定律，而運動的法則是牛頓第二運動定律： \[\vec{F}=m\vec{a}\] \[\frac{d\vec{v}}{dt}=\frac{\vec{F}}{m}=-\frac{GM_s}{r^3}\vec{r}\] \[\frac{d\vec{r}}{dt}=\vec{v} \] 從前面兩個單元(拋體運動和簡諧運動)的學習，我們已經很熟悉一個物體的運動完全由物體的初始條件和它所受的力量來決定他的運動軌跡，行星運動的力量來自於他所受到的重力，一旦我們知道牛頓的重力定律就可以，行星當下所處的環境中所有巨大質量對其施展的重力，再利用差分近似來模擬行星後續的運動。行星的初始條件包括在初始時間的位置向量和速度向量。
運動的差分近似如下 \[ \vec{v}(t+dt) \simeq \vec{v}(t)+\vec{a}(t)dt \] \[ \vec{r}(t+dt) \simeq \vec{r}(t)+\vec{v}(t)dt \] 如果行星的初始速度不是那麼的大，重力會對行星形成束縛的力量，行星在這個重力場的作用下將會形成週期性的軌道運動。如果力量和初始條件搭配得恰到好處的話，這個軌道將會是圓軌道，一般而言行星繞日的軌道是橢圓。
什麼樣的條件是形成圓週運動的恰好條件呢？非常簡單，在圓週運動當中的向心力剛好就是這個行星與太陽之間的重力，這個行星的運動將會遵循圓週運動 ，因此圓週運動的恰好條件如下： \[f_c=\frac{4 \pi^2 m r}{T^2}=f_g=\frac{G M_s m}{r^2} \] \(M_s=太陽的質量\)。將等式兩邊的行星質量\(m\)消去，再做一些代數化簡就可以得到下面這個週期與距離的關係式： \[\frac{r^3}{T^2}=\frac{GM_s}{4\pi^2} \,\,\,\, \text{(Kepler's 3rd law)}\] 這就是克卜勒的行星運動第三定律，行星運動的週期(T)的平方與行星運動的平均距離(r)的3次方成正比。將這個公式運用在我們的地球公轉上，我們將會得到，\(T=1年，r=1AU\)，AU=天文單位=地球與太陽之間的距離=\(1.5 \times 10^{11}\) 公尺。如果我們將太陽系的單位系統制定為：時間以年為單位，距離以日地距離為單位（即為1AU），第三定律的公式將簡化為 \[\frac{1^3}{1^2}=\frac{GM_s}{4\pi^2}, \,\,\, GM_s=4\pi^2\] 因此在這個單位系統中\(GM_s=4\pi^2\)，地球在某一個時刻的坐標為\(\vec{r}=(1,0)\)，而這個時刻的速度為\(\vec{v}=(0,2\pi) \,\, v=\frac{2\pi r}{T}=\frac{2\pi \cdot 1}{1}=2\pi\)。
在下面的程式中我們就體現了這個單位系統，先將它運用在地球繞日的軌道運動中。依據上述的單位系統地球繞日的週期為1，地球與太陽的距離也是1，軌道將是圓。

Web VPython 3.2 scene = canvas(width=800, height=600, center=vector(0,0,0), background=vector(0,0,0)) GM=4*pi**2 SUN=sphere(radius=0.1, pos=vec(0,0,0), color=color.yellow) Earth=sphere(radius=0.05, pos=vec(1,0,0), color=color.blue,make_trail=True) arrow(pos=vec(0,0,0),axis=vec(1.5,0,0),shaftwidth=0.005,headwidth=0.02, \ color=color.yellow) arrow(pos=vec(0,0,0),axis=vec(0,1.5,0),shaftwidth=0.005,headwidth=0.02, \ color=color.yellow) Earth.v=vec(0,2*pi,0) t=0.; dt = 0.01; NR=int(1./dt); time='{:02.0f}'.format(t) T=label(text=time,pos=vector(1,1.2,0)) scene.waitfor('click') while True: rate(int(NR/4)) time='{:04.1f}'.format(t) T.text=time Earth.v += -dt*GM/mag(Earth.pos)**3 * Earth.pos Earth.pos += Earth.v * dt t=t+dt if(t > 10): break



glowscript(PS-planetary-1.py)





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2. 行星繞日的軌道是橢圓形

克卜勒的行星運動第一定律表示：任何行星繞日運動時的軌道是橢圓軌道，而太陽就在橢圓的兩個焦點其中之一，因此行星繞日運動時有所謂的遠日點和近日點，橢圓的離心率就在標示出這個軌道和圓的軌道有多大的差異。大部分的行星繞日的軌道都非常接近圓，也就是離心率接近於0，對於彗星的軌道而言離心率就非常的大，我們所熟知的哈雷彗星其離心率約為0.967，週期約為75.3年，其軌道離開太陽的距離(遠日點=35.1 AU, AU=astronomical unit=天文單位，地球至太陽的距離)可以達到海王星(30 AU)與冥王星(39 AU)之間。我們可以利用程式模擬的方式來顯現出行星繞日運動的橢圓軌道，


Web VPython 3.2 orb=['mercury','venus','earth','mars'] ra=[0.467,0.728,1.017,1.666] rp=[0.307,0.719,0.983,1.381] NP=len(ra) GMs=4*pi**2; dt=0.0001; NR=int(1/dt)/4; V=[] #pi=math.pi for i in range(NP): ai=(ra[i]+rp[i])/2. rat=rp[i]/ra[i]/((rp[i]+ra[i])/2.) vir=rat**0.5 V.append(vir*2*pi) ei=abs(1-((vir*2*pi)**2*(ra[i])/4/pi**2)) Ti=ai**1.5 PL='{:4d}'.format(i)+' {:10s}'.format(orb[i])+'{:9.3f}'.format(ra[i]) \ +'{:9.3f}'.format(rp[i])+'{:9.3f}'.format(ai)+'{:9.3f}'.format(vir) \ +'{:9.3f}'.format(V[i])+'{:9.3f}'.format(ei)+'{:9.3f}'.format(Ti) print(PL) scene=canvas(width=800, height=700, center=vector(0,0,0), background=vector(0,0,0)) SUN = sphere(radius=0.1,pos=vector(0,0,0),color=color.yellow) planets=[sphere(radius=0.2, pos=vector(ra[i],0,0), make_trail=True) \ for i in range(NP)] planets[0].radius=0.03; planets[0].color=vec(0.5,0.5,0.5) planets[1].radius=0.05; planets[1].color=vec(0.8,0.8,0.8) planets[2].radius=0.1; planets[2].color=color.cyan planets[3].radius=0.05; planets[3].color=color.orange for i in range(NP): planets[i].trail_color=planets[i].color planets[i].v=vector(0,V[i],0) t=0. time='{:4.1f}'.format(t) T=label(text=time,pos=vector(1.5,1.5,0)) scene.waitfor('click') while True: rate(NR) time='{:4.1f}'.format(t) T.text=time for i in range(NP): a=-GMs/mag(planets[i].pos)**3 * planets[i].pos planets[i].v += a*dt planets[i].pos += planets[i].v * dt t=t+dt if(t > 8): break



glowscript(PS-planetary-2.py)





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3. 哈雷彗星的軌道

glowscript(PS-planetary-3.py) PS-planetary-3.py




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哈雷彗星的軌道程式

GlowScript 3.0 VPython
orb=['mercury','venus','earth','mars','jupiter','saturn','uranus','neptune','pluto','halley']
ra=[0.467,0.728,1.017,1.666,5.459,10.124,20.078,30.386,49.304,35.082]
rp=[0.307,0.719,0.983,1.381,4.95,9.041,18.324,29.709,29.658,0.586]
a=[0.387,0.724,1,1.523,5.204,9.582,19.201,30.047,39.481,17.834]
va=[1.303,1.168,0.983,0.738,0.417,0.305,0.218,0.18,0.123,0.031]
e=[0.207,0.006,0.017,0.094,0.049,0.057,0.046,0.011,0.249,0.967]
T=[0.241,0.615,1,1.88,11.86,29.46,84.01,164.8,247.7,75.32]

NP=len(rp)-2; NP=10
RE=1.5e11; TE=365*86400; VE=2.*pi*RE/TE
MS=1.989e30; ME=5.972e24; G=6.67e-11; V=[]
Ns=1000; dt = TE/Ns; NR=Ns*2
print(' i      planets      ra         rp          a         va          e          T')
for i in range(NP):
    ai=(ra[i]+rp[i])/2.
    rat=rp[i]/ra[i]/((rp[i]+ra[i])/2.)
    vir=sqrt(rat)
    ei=abs(1-((vir*2*pi)**2*(ra[i])/4/pi**2))
    PL='{:4d}'.format(i)+'{:10s}'.format(orb[i])+'{:9.3f}'.format(ra[i]) \
+'{:9.3f}'.format(rp[i])+'{:9.3f}'.format(ai)+'{:9.3f}'.format(vir) \
+'{:9.3f}'.format(ei)+'{:9.3f}'.format(T[i])
    print(PL)
    vi=VE*vir
    V.append(vi)
ran=random

scene = canvas(width=800, height=700, center=vector(0,0,0),
                background=vector(0,0,0))
            
SUN = sphere(radius=0.1*RE,pos=vector(0,0,0),color=color.yellow)
planets=[sphere(radius=0.2*RE, pos=vector(ra[i]*RE,0,0), make_trail=True) for i in range(NP)]
planets[0].radius=0.02*RE
planets[1].radius=0.05*RE
planets[2].radius=0.1*RE
planets[3].radius=0.05*RE
planets[4].radius=0.3*RE

planets[0].color=color.cyan
planets[1].color=color.orange
planets[2].color=color.blue
planets[3].color=color.red
planets[4].color=color.orange
planets[5].color=color.green
planets[6].color=color.white
planets[7].color=color.purple
planets[8].color=color.white
planets[9].color=color.yellow
for i in range(NP):
    planets[i].trail_color=planets[i].color
    planets[i].v=vector(0,V[i],0)
t=0.
time='{:4.0f}'.format(t/TE)
T=label(text=time,pos=vector(40*RE,10*RE,0))

scene.waitfor('click')
while True:
    rate(NR)
    time='{:4.0f}'.format(t/TE)
    T.text=time
    for i in range(2,NP):
        planets[i].v += -dt*G*MS/mag(planets[i].pos)**3 * planets[i].pos
        planets[i].pos += planets[i].v * dt    
    t=t+dt
    if(t/TE > 80): break

run this code(planetary-solar-S) in glowscript



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4. 等面積定律

行星至太陽間的連心線在相同的時間內掃過相同的面積。

glowscript(PS-planetary-4.py) PS-planetary-4.py




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