簡諧運動

在這一個單元我們要介紹簡諧運動，簡諧運動雖然是一維空間的運動，但是它的特點但是作用力並不是均勻的常數作用力，而是一個隨著位置改變的力量，這個力量稱為恢復力，力量方向總是指向平衡點，也就是我們在這個運動所經常定義的原點。

解說簡諧運動的影片


  1. 簡諧運動的精確解
    2.
    簡諧運動的方程式如下： \[F=ma=-kx\] \[m\frac{d^2x}{dt^2}=-kx\] 方程式的解： \[ x(t)=A \cos(\omega_0 t)\] \[ \omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}} \] 球的位置向量直接以這個精確解的函數關係代進去，就可以模擬球的簡諧運動。\(\omega_0\)稱為震動系統的自然(角)頻率，由震盪子的質量m和彈簧的彈性係數k決定。簡諧震盪的頻率和週期可以分別表示為： \[f=\frac{\omega}{2\pi}; \,\,\, T=\frac{2\pi}{\omega} \] 

    Web VPython 3.2
size = 0.3  #球的半徑
r = 0.      #平衡點的位置
k = 10      #彈簧的彈性係數
m = 2     #簡諧震盪物體的質量
w=sqrt(k/m) #簡諧震盪的角頻率
A=3.        #簡諧震盪的振福
scene = canvas(width=600, height=400, center=vec(0, 0, 0))
ball = sphere(radius = size,  color=color.red)
ball.pos = vector(r+A ,0, 0)   #簡諧震盪物體的初始位置
arr=arrow(pos=ball.pos*2, axis=vec(-4*A,0,0), \ 
     shaftwidth=0.02, headwidth=0.06)
arrow(pos=vec(0,-2,0), axis=vec(0,4,0), \ 
     shaftwidth=0.02, headwidth=0.06)
t=0.; dt = 0.01; NR=int(1/dt)   
while True:
    rate(NR)
    #球的位置向量直接以精確解的函數代進去
    ball.pos=vector(r+A*cos(w*t),0,0) #直接用x(t)函數來控制球的運動位置
    t=t+dt



    glowscript(PS-SHO-1.py)




  2. 簡諧運動的差分近似
    3.
    \[a(t)=\frac{dv}{dt} \rightarrow v(t+dt) \simeq v(t)+ a(t)dt\] \[v(t)=\frac{dx}{dt} \rightarrow x(t+dt) \simeq x(t)+ v(t)dt\] \[f=-kx=ma; \,\,\, a=-\frac{k}{m}x\] \[v(t+dt) \simeq v(t) - \frac{k}{m}x \cdot dt\] 
    Web VPython 3.2
size = 0.3  #球的半徑
r = 0.      #平衡點的位置
k = 10      #彈簧的彈性係數
m = 2     #簡諧震盪物體的質量
w=sqrt(k/m) #簡諧震盪的角頻率
A=3.        #簡諧震盪的振福
scene = canvas(width=600, height=400, center=vec(0, 0, 0))             
ball = sphere(radius = size,  color=color.red)                              
ball.pos = vector(r+A ,0, 0)   #簡諧震盪物體的初始位置
ball.v=vec(0,0,0)
arr=arrow(pos=ball.pos*2, axis=vec(-4*A,0,0), shaftwidth=0.02, headwidth=0.06)
arrow(pos=vec(0,-2,0), axis=vec(0,4,0), shaftwidth=0.02, headwidth=0.06)
scene.pause('click')
t=0.; dt = 0.01; NR=int(1/dt)   
while True:
    rate(NR)
    ball.v+=(-k*ball.pos/m)*dt
    ball.pos+=ball.v*dt
    t=t+dt



    glowscript(PS-SHO-2.py)




  3. 簡諧運動的模擬中加入彈簧
    4.  
    GlowScript 3.0 VPython
R=0.3; r=0.; k=20.; m=2.; A=3      
w=sqrt(k/m) 
scene=canvas(width=600, height=400, center=vec(0, 0, 0))
ball1=sphere(pos=vec(r+A ,0, 0),radius=R, color=color.red)
pin=vec(-5,0,0)
arr=arrow(pos=ball1.pos*2, axis=vec(-4*A,0,0), \ 
shaftwidth=0.02, headwidth=0.06) 
spring=helix(pos=pin,axis=ball1.pos-pin,radius=0.5,color=vec(0.3,0.3,1))
scene.pause('click to start')
t=0.; dt = 0.1; NR=int(1/dt); 
while True:
    rate(NR*1)
    ball1.pos.x=A*cos(w*t)
    spring.axis=ball1.pos-pin
    t=t+dt



    glowscript(PS-SHO-3.py)