從速度的高斯分佈推導布朗運動中的均方位移是愛因斯坦布朗運動理論的核心之一。這個推導基於統計物理，特別是對粒子運動的隨機性和熱運動的理解。
首先，假設顆粒的速度是由熱運動引起的，並且遵循高斯分佈。對於顆粒在 \(x\)-方向的速度 \(v_x\)，其概率密度函數可以表示為高斯分佈形式：
\(P(v_x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi \langle v_x^2 \rangle}} e^{-\frac{v_x^2}{2\langle v_x^2 \rangle}}\)其中：
\(\langle v_x^2 \rangle\) 是顆粒在 \(x\)-方向上的均方速度。
\(\langle v_x^2 \rangle = \frac{k_B T}{m}\)（這是基於熱運動理論的結果，根據理想氣體分子運動定律）。
顆粒的位移 \(x(t)\) 是速度 \(v_x(t)\) 隨時間積分的結果：
\( x(t) = \int_0^t v_x(t') \, dt' \)對於隨機運動，顆粒的位移是隨機的，並且每個方向上的位移是獨立的。所以，如果顆粒在每個時間步驟中移動的平均位移是零，那麼顆粒的均方位移會隨著時間增長。
我們的目標是推導顆粒在某個方向上的均方位移，即 \(\langle x^2 \rangle\)。根據隨機運動的性質，我們可以利用速度的高斯分佈來推導均方位移。
在時間 \(t\) 內，顆粒的位移與其速度的積分有關。對於一個隨機過程，顆粒的位移的均方值是時間的函數，可以表示為：
\( \langle x^2(t) \rangle = \int_0^t \int_0^t \langle v_x(t') v_x(t'') \rangle \, dt' \, dt'' \)由於隨機運動的性質，速度 \(v_x\) 是獨立的，且均值為零，只有速度的自相關函數在時間 \(t\) 內是非零的。因此，根據統計物理中的自相關性假設，我們可以簡化此積分：
\( \langle v_x(t') v_x(t'') \rangle = \langle v_x^2 \rangle \delta(t' - t'') \)這樣，均方位移的公式簡化為：
\( \langle x^2(t) \rangle = \int_0^t \langle v_x^2 \rangle \, dt' = \langle v_x^2 \rangle t \)根據統計物理，顆粒的速度 \(v_x\) 由熱運動決定，並且滿足能量等式。對於一個粒子，根據熱力學的Equipartition Theorem（能量均分定理），其在 \(x\)-方向上的均方速度為：
\( \langle v_x^2 \rangle = \frac{k_B T}{m} \)這是基於理想氣體分子運動的假設，顆粒的速度與其溫度成正比。
因此，顆粒在 \(x\)-方向的均方位移為：
\( \langle x^2(t) \rangle = \frac{k_B T}{m} t \)在流體中，顆粒不僅受到自身的熱運動影響，還受到流體分子的隨機碰撞。因此，顆粒的運動會受到流體的阻力（即粘度）影響。顆粒的運動遵循斯托克斯定律，根據流體的粘度 \(\eta\) 和顆粒的半徑 \(r\)，顆粒運動的阻力與時間相關。
根據愛因斯坦的布朗運動理論，考慮到顆粒在流體中的運動時，我們需要進行微調。顆粒運動的隨機過程遵循一個類似於擴散過程的行為。因此，顆粒的均方位移還需要結合流體的粘度和顆粒的大小來描述。
愛因斯坦的推導最終得出：
\( \langle x^2(t) \rangle = \frac{2 k_B T}{\pi \eta r} t \)這裡：
從速度的高斯分佈出發，我們可以推導出顆粒的均方位移。這個推導基於隨機過程和統計物理的原理，最終我們得到顆粒的均方位移公式，該公式與溫度、粘度、顆粒大小和時間有關，並且能夠描述布朗運動中顆粒的隨機擴散行為。