用 Bohr 氫原子模型可以推導出雷德堡常數 \(R_H\)
電子繞質子作圓周運動：
\[\frac{k e^2}{r^2}=\frac{m_e v^2}{r}\]
角動量量子化：
\[m_e v r=n\hbar\]
由兩式可得第 n 軌道半徑：
\[r_n=\frac{n^2\hbar^2}{m_e k e^2}\]
電子總能量為動能加位能：
\[E_n=K+U\]
其中
\[K=\frac{1}{2}m_e v^2=\frac{1}{2}\frac{k e^2}{r}\]
\[U=-\frac{k e^2}{r}\]
所以
\[E_n=-\frac{1}{2}\frac{k e^2}{r_n}\]
代入 \(r_n=\frac{n^2\hbar^2}{m_e k e^2}\)
\[E_n=-\frac{m_e k^2 e^4}{2\hbar^2}\frac{1}{n^2}\]
當電子由 \(n_i\) 跳到 \(n_f\) 時，放出光子：
\[h\nu=E_{n_i}-E_{n_f}\]
因為
\[\nu=\frac{c}{\lambda}\]
所以
\[\frac{hc}{\lambda} = \frac{m_e k^2 e^4}{2\hbar^2} \left(\frac{1}{n_f^2}-\frac{1}{n_i^2}\right)\]
整理得
\[\frac{1}{\lambda} = \frac{m_e k^2 e^4}{2\hbar^2 h c} \left( \frac{1}{n_f^2}-\frac{1}{n_i^2} \right)\]
和雷德堡公式比較：
\[\frac{1}{\lambda} = R_H \left( \frac{1}{n_f^2}-\frac{1}{n_i^2} \right) \]
因此雷德堡常數：
\[R_H= \frac{m_e k^2 e^4}{2\hbar^2 h c}\]
也可以寫成：
\[R_H= \frac{m_e e^4}{8\epsilon_0^2 h^3 c}\]
其中
\[k=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\]
數值約為：
\[R_H \approx 1.097\times 10^7\ \mathrm{m^{-1}}\]
- 電子電荷： \(e = 1.602\times 10^{-19}\ \mathrm{C}\)
- 真空介電常數： \(\epsilon_0 = 8.854\times 10^{-12}\ \mathrm{F/m}\)
- 普朗克常數： \(h = 6.626\times 10^{-34}\ \mathrm{J\cdot s}\)
- 光速：\(c = 3.00\times 10^{8}\ \mathrm{m/s}\)
這表示 Bohr 模型不只是能說明氫原子的能階，也能直接推出氫光譜的雷德堡公式。